Квадратура круга. Внешняя сторона. Математика и геометрия

31 марта 2021
Квадратура круга. Внешняя сторона. Математика и геометрия

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - возможно самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики, геометрии, философии, магии и даже химии. В конце концов, считается что была доказана невозможность решения этой задачи при использовании только лишь циркуля и линейки. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию ряда совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее очень простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Теперь же обратимся к фактам и истории.

  Одна из старейших сохранившихся математических работ — папирус Райнда (или Ринда), названный в честь шотландского египтолога Генри Райнда, который приобрел его в Луксоре в 1858 году. Документ составляет около 6 метров в длину и 1/3 метра в ширину и был написан около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом, который скопировал документ, бывший на 200 лет старше. Это дает возможность датировать оригинальный папирус примерно 1850 г. до н.э., но некоторые эксперты считают, что папирус Райнда основан на работе, восходящей к 3400 г. до нашей эры. Папирус этот был не чем иным, как методичкой, в которой приводились способы решения различных прикладных задач. Что именно предлагается в случае квадратуры круга, науке толком неизвестно, так как для этой задачи пояснительный текст весьма расплывчат. По одной из версий, НЁХ в верхней части рисунка — это восьмиугольник, по предположению египтян равный площади вписанного в квадратик круга. Насколько эта интерпретация корректна — вопрос сложный, но обычно именно это и принимается за точку отсчёта документированной истории квадратуры круга. В папирусе Райнда Ахмес приводит правило для построения квадрата, площадь которого приблизительно равна площади круга. Нужно вырезать 1/9 диаметра круга и построить квадрат на оставшейся его части. Хотя это не совсем геометрическое построение, оно показывает, что задача построения квадрата с площадью, равной площади круга, восходит к самым началам математики. Это довольно хорошее приближение, соответствующее значению 3,1605. Задача о квадратуре круга в той форме, которую она имеет сегодня, возникла в греческой математике и ее не всегда правильно понимали. Впрочем мы сосредоточим наше внимание не на археологии, а на том какой путь и каким образом легендарная задача добралась до наших дней так сказать «своим ходом».

  Задача состоит в том, чтобы для данного круга построить геометрическими методами квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Методы, которые было разрешено использовать при таком построении, были не совсем ясны. Потому искатели решения довольно быстро ушли от изначальной строгой интерпретации, к примеру известно, что кто-то в свое время стал говорить не о равенстве периметра квадрата и длины окружности круга, а о равновеликих площадях, ну и так далее. В действительности спектр методов и взглядов, применяемых для решения этой задачи был заметно больше одного единственного – греки даже создали несколько математических и геометрических школ решения этой задачи. Первым математиком, о котором известно, что он пытался квадрировать круг, является Анаксагор. Плутарх в своей работе “Об изгнании’’, которая была написана в первом веке нашей эры, говорит:

“Не существует места, которое может лишить человека счастья, добродетели или мудрости. Анаксагор в действительности писал о квадратуре круга, находясь в тюрьме". Сохранилась легенда, по которой Анаксагор стал единственным человеком, который достиг решения этой задачи. Но это решение было записано на песчаном полу его камеры..

И пришедший на следующий день тюремщик, сочтя надписи какими-то глупыми закорючками, все разрушил.

 Полного решения, предложенного Анаксагором, не сохранилось, но считается, что оно состояло в следующем: производя последовательно удвоение сторон вписанного многоугольника, он получал в конце концов многоугольник с очень большим числом сторон, которые, по мысли Анаксагора, должны совпадать с соответствующими им дугами окружности. Но, так как для любого многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга. От Плутарха известно, что лучшие математики того времени (в том числе Платон и Евдокс) посещали в темнице Анаксагора и были удовлетворены его решением, а ведь требования к строгости доказательств в то время были не ниже сегодняшних.